Quoi : Groupe de travail
Période : Mars à Avril 2025
Lieu : IRMAR
Liste de diffusion: Cliquez ici
Organisateurs : Miguel Rodrigues, Florent Ygouf

Aperçu du Séminaire

Ce groupe de travail vise à introduire le flot de Ricci dans le cadre des surfaces et à l’utiliser pour démontrer l’uniformisation des surfaces de Riemann. Vous aurez l’opportunité d’apprendre ou de revoir quelques concepts clés de géométrie riemannienne, un théorème de Cartan, les différentes formulations de l’uniformisation des surfaces, et la preuve de leur équivalence. Nous explorerons ensuite pourquoi le flot de Ricci ressemble à l’équation de la chaleur et comment il permet de prouver l’uniformisation. Si le temps le permet, nous pourrions même discuter d’inégalités isopérimétriques.

Ce thème a été choisi non seulement pour son intérêt intrinsèque, mais aussi pour son potentiel à rassembler des membres de différentes équipes de notre institut. Le seul pré-requis est d’avoir un master en mathématiques (ou d’être proche de l’obtenir). Nous encourageons les étudiant.e.s de master et les doctorant.e.s à nous rejoindre!

Programme

Nous prévoyons d’organiser six sessions, chacune durant deux heures, plus une pause ☕️. Voici le programme du séminaire :

  1. Théorème de Cartan part. 1
    Date : 07/03 à 9h
    Lieu : salle 12, batiment 32B
    Intervenant : Juan Souto
    Résumé : Le but de cet exposé sera d’introduire le langague de la géométrie riemannienne et de prouver le théorème de Cartan sur les variétés complètes, simplement connexes et à courbure constante.

    Compte rendu : Nous avons vu la notion de métrique riemannienne, les dérivées de Lie des fonctions, le crochet de Lie de deux champs de vecteurs, et que celui-ci s’annule si, et seulement ci les flots associés commutent. Nous avons ensuite vu la notion de longeur et d’énergie associée à un chemin. Nous avons ensuite introduit la notion de connection affine et étudié le cas de la connexion de Levi-Civita sur une variété riemannienne. Nous avons vu que les points critiques de la fonctionnelle d’energie vérifient une EDO, et avons défini les géodésique comme les solutions de cette EDO. Enfin, nous avons abordé la notion de transport parallèle associé à une connexion affine et nous avons conclu par l’enoncé du théorème de Hopf-Rinow.

    Les notes de Thomas Letendre sont disponibles ici.

  2. Théorème de Cartan part. 2
    Date : 14/03 à 9h
    Lieu : Amphi Lebesgue, IRMAR.
    Intervenant : Juan Souto
    Résumé : suite de la partie 1

  3. Du théorème de Cartan à l’uniformisation des surfaces de Riemann
    Date : 21/03 à 9h
    Intervenant : Florestan Martin-Baillon
    Résumé : Florestan a introduit le formlisme des repères mobiles sur une surface riemannienne, puis a introduit la forme de connexion. Enfin il a démontré une formule reliant la courbure de deux métriques conformes. C’est le chapitre 1 de ce cours.

  4. Flot de Ricci 101
    Date : 04/04 à 9h
    Intervenant : San Vu Ngoc
    Résumé : San a introduit l’équation de Ricci dans le cadre général des variétés riemanniennes puis a donné deux exemples de solutions dans le cas des surfaces (celles de courbure constante et le “soliton cigare”). Il a ensuite démontré que le volume d’une solution variait linéairement, ce qui pouvait conduire à une explosion des solutions en temps fini. Il a ensuite introduit l’équation de Ricci normalisée, montré que les solutions de cette nouvelle équation ont volume constant et expliqué que cette équation se ramenait à une équation scalaire sur la courbure (toujours dans le cas des surfaces).

    Les notes de San sont disponibles ici.

  5. Un cours accéléré sur les équations paraboliques
    Date :
    Intervenant : Miguel Rodrigues
    Résumé :

  6. Convergence dans le cas de la caractéristique d’Euler négative
    Date :
    Intervenant : Ronan Herry
    Résumé :

Ressources

La principale ressource que nous utiliserons est ce cours. D’autres ressources seront ajoutées au fur et à mesure si nécessaire.